هدف از این نوشته معرفی تبدیل فوریه، تبدیل فوریه پنجره ای، تبدیل موجک و کاربرد این تبدیلات در آنالیز جزر و مد می باشد.

توجه : به معرفی روابط پرداخته نشده است.

مطمئنا روش های بسیار زیادی برای آنالیز جزر و مد وجود دارد، به طوریکه هریک از این روش ها از مزایا و معایب خاصی برخوردار              می باشند، لذا توصیه ما به دوستان این است که براساس کاربرد خود بهترین روش را برگزیده و پیاده سازی کنید.

آنالیز جزر و مد با استفاده از تبدیل فوریه پنجره ای و تبدیل موجک

تبدیل فوریه :

تبدیل فوریه یکی از پرکاربردترین ابزارها در حوزه پردازش سیگنال می باشد.

قبل از ادامه توضیحات مربوط به تبدیل فوریه لازم است که سیگنال های ایستا و غیرایستا را تعریف کنیم.

سیگنال های ایستا :

در سیگنال های ایستا، اطلاعات حوزه زمان مهم نیست، همچنین در طول زمان مشخصات آماری سیگنال نظیر میانگین و واریانس تغییر            نمی کند.

برای توضیح واضح تر : اگر به عنوان مثال شما ۴ فرکانس داشته باشید، هر ۴ فرکانس در تمام زمان ها اتفاق افتاده.

سیگنال های غیرایستا :

در سیگنال های غیرایستا، در طول زمان مشخصات آماری سیگنال نظیر میانگین و واریانس تغییر می کند.

برای توضیح واضح تر : اگر به عنوان مثال شما ۵ فرکانس داشته باشید، هرکدام از فرکانس ها در فاصله زمانی خاصی اتفاق افتاده.

ادامه توضیحات :

با استفاده از تبدیل فوریه می توان هر حرکت تناوبی را با یکسری sin و cos که به صورت هارمونیکی به هم ارتباط دارند، نمایش داد.

تعیین موقعیت نقطه ای دقیق به روش PPP

ویژگی تبدیل فوریه :

تبدیل فوریه برای سیگنال هایی که در طول زمان تغییر می کنند (سیگنال های غیرایستا) مناسب نیست، چرا؟؟؟

چون تبدیل فوریه تمام نمونه های سیگنال، اعم از فرکانس بالا و فرکانس پایین را با یک نرخ ثابت مورد بررسی قرار می دهد. در واقع اگر هدف از انجام تبدیل فوریه آشکارسازی فرکانس ها باشد، این تبدیل بر روی هر دو سیگنال ایستا و غیرایستا یکسان عمل کرده، اما اگر هدف از انجام آن آشکار سازی محل به وقوع پیوستن فرکانس ها باشد، بر روی سیگنال های غیرایستا جوابگو نیست. به همین دلیل براساس کاربرد مورد نظر می توان از تبدیل فوریه استفاده کرد.

خلاصه اینکه : در سیگنال های غیرایستا با استفاده از تبدیل فوریه نمی توان گفت که کدام فرکانس و در چه زمانی در سیگنال حضور دارد. در واقع تبدیل فوریه مقدار متوسط یک فرکانس را در کل سیگنال می دهد.

تبدیل فوریه پنجره ای :

هدف از این تبدیل رفع مشکل تبدیل فوریه می باشد.

مشکل تبدیل فوریه چه بود؟؟؟

مشکل این بود که این تبدیل بر روی سیگنال های غیرایستا عملکرد خوبی نداشت، در واقع تبدیل فوریه فقط تابع فرکانس بود و اطلاعات مکان فرکانس در این تبدیل از بین می رفت.

به همین دلیل در تبدیل فوریه پنجره ای، سیگنال اصلی به پنجره هایی تقسیم می شود، به طوریکه هر بخش از سیگنال را بتوان ثابت فرض کرد، سپس تبدیل در آنها گرفته می شود. در واقع با انجام این کار در بازه های زمانی کوتاه یه سیگنال غیرایستا را به یک سیگنال ایستا تبدیل کرده ایم و در هر بازه زمانی از تبدیل فوریه استفاده می کنیم.

یک نکته بسیار مهم :

سوال بسیار مهمی که می تواند در این قسمت پرسیده شود این است که بر چه اساسی عرض پنجره ها انتخاب می شود؟؟؟

باید عرض پنجره با قسمتی از سیگنال که ایستا هست، برابر باشد، تا بتوان از تبدیل فوریه استفاده کرد.

ویژگی تبدیل فوریه پنجره ای :

1. برخلاف تبدیل فوریه، تابعی از زمان و فرکانس می باشد.
2. بر روی سیگنال های غیرایستا عملکرد خوبی دارد. (به فرکانس های مختلف سیگنال با نرخ متغیر نگاه می کند)
3. اگر عرض پنجره ها باریک باشد، از رزولوشن زمانی خوبی برخوردار هستیم.
4. اگر عرض پنجره ها پهن باشد، از رزولوشن فرکانسی خوبی برخوردار هستیم.

موارد ۳و۴ جزء مشکلات تبدیل فوریه پنجره ای می باشند، چرا؟؟؟

در تبدیل فوریه پنجره ای عرض پنجره ها ثابت می باشد، در واقع اگر از پنجره ای با عرض باریک استفاده کنیم، رزولوشن زمانی خوبی داریم، ولی رزولوشن فرکانسی ما پایین می باشد و برعکس اگر از پنجره ای با عرض پهن استفاده کنیم، رزولوشن فرکانسی خوبی داریم، ولی از رزولوشن زمانی خوبی برخوردار نیستیم.

خلاصه اینکه : ما به پنجره هایی با عرض متغیر نیاز داریم.

تبدیل موجک :

هدف از این تبدیل رفع مشکل تبدیل فوریه پنجره ای می باشد.

مشکل تبدیل فوریه پنجره ای چه بود؟؟؟

مشکل این بود که در این تبدیل عرض پنجره ثابت بود، به همین دلیل برای رفع مسئله رزولوشن از تبدیل موجک استفاده می شود.

ویژگی تبدیل موجک :

1. عرض پنجره ها برخلاف تبدیل فوریه پنجره ای متغیر است.
2. آنالیز فرکانس های بالا با استفاده از پنجره های باریک و دستیابی به رزولوشن زمانی بهتر
3. آنالیز فرکانس های پایین با استفاده از پنجره های پهن و دستیابی به رزولوشن فرکانسی بهتر

در نتیجه با استفاده از تبدیل موجک مشکل رزولوشن از بین می رود.

نکته بسیار مهمی که وجود دارد این است که براساس کاربرد، هریک از تبدیلات فوق انتخاب می شود.

حال سوالی که در پایان شاید پرسیده شود این است که، در کدامیک از توضیحات فوق به آنالیز جزر و مد پرداخته شده است ؟؟؟

جواب این است که جزر و مد جزء سیگنال های غیرایستا بوده و براساس توضیحات فوق می توان به آنالیز آن پرداخت.

در نوشته های بعدی مطالب زیر مورد بررسی قرار می گیرد :

1. معرفی کامل تبدیل موجک (پارامتر های تبدیل موجک، موجک مادر و …)
2. کد نویسی هریک از تبدیلات فوق